Размер шрифта: A AA Изображения Выключить Включить Цвет сайта Ц Ц Ц Х


Авторизация

Логин:
Пароль:

Разделы библиотеки

Общая [356]

Электронная среда

Библиотека АФ КНИТУ-КАИ

Библиотека » Каталог » Общий раздел » Общая

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Берман Г. Н.

Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 608 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Учебное пособи»' предназначено для: студентов, изучающих математический анализ а объеме программы для высших технических учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам: курса математического анализа.

Настоящая книга - значительно расширенный вариант известного «Сборника задач по курсу математического анализа» того же актора. По сравнению с двадцать вторым изданием «Сборника* (2002 г.) добавлен обширный раздел с решениями типичных, а также наиболее трудных задач. Кроме того, для удобства пользования пособием в начале каждого параграфа приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Количество решенных задач составляет примерно пятую часть общего их числа, поэтому задачник может использоваться при самостоятельной подготовке студентов.

Глава I Функции 11

§ 1.1 Первоночальные сведения о функции

I. I. I. Функции и способы их задания

1.1.2. Сложные и неявно заданные функции 13

§ 1.2. Простейшие свойства функцийI 14

1.2.1. Область определения функции 14

1.2.2.Элементы поведения функции 17

§ 1.3. Элементарные функции. Обратная функция 19

Глава 2. Предел. Непрерывности 30

§ 2.1. Основные определения 30

9.1.1 Функции целочисленного аргумента 30

2.1.2. Функции непрерывного аргумента 32

§ 2.2. Бесконечные величины. Признаки существования предела

предела 32

2.2.1.Бесконечные величины 32

2.2.2.Признаки существовании предела 35

§2.3. Непрерывные  функции 35

§ 2.4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых 38

2.4.1.Функции целочисленного аргумента 38

2.4.2.Функция непрерывного аргумента 39

2.4.3. Сравнение бесконечно малых 45

2.4.4. Некоторые геометрические задачи 47

2.4.5. Вычислительные задачи 50
Глава 3. Производная и дифференциал. Дифференциальное

исчисление 51
§ 3.1. Производная, Скорость изменения функции 51

3.1.1. Некоторые задачи физики 51

3.1.2. Производная функции 53

3.1.3. Геометрический смысл производной 54

§ 3.2. Дифференцирование функций 55

3.2.1.Степенные функции 56

3.2.2. Тригонометрические функции 58

3.2.3. Обратеые тригонометрические функции 60

3.2.4. Логарифмические функции . 60

3.2.5. Показательные функции 61
3.2.6. Гиперболические функции 62

3.2.7 Логарифмическое дифференцирование 63

3.2.8 Разные функции 63

3.2.9 Обратные функции 67

3.2.10. Функции, заданные неявно 68

3.2.11 Применения производной 69

§ 3.3 Дифференциал Дифференцируемость функции 75

3.3.1 Дифференциал 76

3.3.2 Дифференцируемость функций 79 § 3.4 Производная как скорость изменения (дальнейшие

примеры) 80

3.4.1. Относительная скорость 80

3.4.2. Функции, заданные параметрически 82

3.4.3. Скорость изменения полярного радиуса 85

3.4.4. Скорость изменения длины 86

3.4.5. Скорость движения 87 § 3.5. Повторное дифференцирование 87

3.5.1. Функции, заданные в явном виде 87

3.5.2. Функции, заданные в неявном виде 90

3.5.3. Функции, заданные параметрически 90

3.5.4. Ускорение движения 91

3.5.5. Формула Лейбница 92

3.5.6. Дифференциалы высших порядков 93

Глава 4. Исследование функций и их графиков 95

§ 4.1. Поведение функции 95

§ 4.2. Применение первой производной 96

4.2.1. Теоремы Ролля и Лагранжа 96

4.2.2. Поведение функций в интервале 99

4.2.3. Неравенства 101

4.2.4 Задачи на отыскание наибольших и наименьших

значений функций .. 101

§ 4.3. Применение второй производной 108

4.3.1. Экстремумы 108

4.3.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 108 § 4.4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 112

4.4.1. Теорема Коши и правило Лопиталя 112

4.4.2. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 115

4.4.3 Общее исследование функций и линий 116

4.4.4 Решение уравнений 119 § 4.5. Формула Тейлора и ее применение 121

4.5.1. Формула Тейлора для многочленов 121

4.5.2. Формула Тейлора 122

4.5.3. Некоторые применения формулы Тейлора 122 § 4.6. Кривизна 123
Глава 5. Определенный интеграл                128

Определенный интеграл и его простейшие свойства 128

5.1.1. Вычисление интегралов суммированием 131

Основные свойства определенного интеграла 133

Основные свойства определенного интеграла .133

5.2.2. Оценка интеграла 133 5.2.4  Среднее значение функции 134

5.2.4. Интеграл с переменным пределом 135 Формула Ньютона-Лейбниц                     137

Глава 6. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление 139 § 6.1. Простейшие примеры интегрирования 139 § 6.2. Основные методы интегрирования 144 § 6.2.1 Интегрирование по частям 144

6.2.2  Замена переменной 145

§ 6.3. Разные задачи . 147

Основные классы интегрируемых функций 150

Дробно-рациональне функции 150

6.3.3. Некоторые иррациональные функции 153

6.3.4. Тригонометрические функции 154

6.3.4. Гиперболические функции 156 

6.3.6. Разные функции   158

Способы вычисления определенных интегралов

Несобственные нтеграл 160

7.1.1. Способы точного вычисления нтегралов Непосредственное применение формулы Ньютона-

Лейбница 160 7.1.2 Замена переменной в определенном  интеграле 162 7.1.3. Разные задачи 163 § 7.2 Приближенные методы 167

§ 7.3. Несобственные интегралы 170

7.3.2. Интеграл с бесконечными пределами 170 7.3.3. нтегралы от функций бесконечными разрывами 171

Разные задачи 172

Применения интеграл 175

§ 8.1.1. Некоторые задачи геометрии и статики  175

8.1.2. Плоишадь фигуры 175

8.1.3. Длина линии 180

8.1.4.Объм тела 183

8.1.4.Площадь поверхности и вращения 188

8.1.5 Моменты и центр масс 190

8.1.6.Теоремы Гульдина 194

§ 8.2. Некоторые задачи физики 195
Глава 9 Ряды 207

§ 9.1. Числовые ряды 207

9.1.1. Сходимость числового ряда 207

9.1.2. Ряды с положительными членами 208 9.1.3: Ряды с произвольными членами Абсолютная

сходимость 211

§9.2. Функциональные ряды 212

9.2.1. Сходимость функциональных рядов 212

9.2.2. Равномерная (правильная) сходимость 212

9.2.3. Интегрирование и дифференцирование рядов 214 § 9.3. Степенные ряды 216

9.3.1. Разложение функции в степенные ряды 216

9.3.2. Интервал сходимости 218 § 9.4. Некоторые применения рядов Тейлора 219

9.4.1. Вычисления приближенных значений функций 2)9

9.4.2. Решение уравнений 220

9.4.3. Интегрирование функций 221

9.4.4. Разные задачи 222

Глава 10. Функции нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление 223

§ 10.1. Функции нескольких переменных. 223

§ 10.2. Простейшие свойства функции 225

10.2.1. Область определения 225

10.2.2. Предел. Непрерывность функции 227 10.2.3: Линии и поверхности уровня 228

§ 10.3. Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных 230

10.3.1. Частные производные 230

10.3.2. Дифференциалы. Приближенные вычисления. 233

10.3.3. Применения, к вычислениям 234 § 10.4. Дифференцирование функций 235

10.4.1. Сложная функция . 235

10.4.2. Неявно и параметрически заданные функции 236 § 10.5. Повторное дифференцирование 238

10.5.1. Замена переменных 241

Глава 11. Применения дифференциального Исчисления

функций нескольких переменных 243 § 11.1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких

переменных 243

11.1.1. Формула Тейлора 243

11.1.2. Экстремумы 244

11.1.3. Наибольшие и. наименьшие значения' 246

11.1.4. Условные экстремумы 247 § 11.2. Плоские линии 250

11.2.1 Касательные и нормали. 250
11.2.2. Особые точки 250

11.2.3. Огибающие 250 § 11.3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в

пространтве. Поверхности 252

11.3.1. Векторная функция скалярного аргумента 252

11.3.2.Пространственные линии 254

11.3.3.Длина дуги пространственной линии 256

11.3.4. Поверхности 256 § 11.4. Скалярное поле Градиент Производная по

направлению '259

11.4.1. Градиент 259

11.4.2. Производная но направлению 260

Глава 12. Многомерные интегралы и кратное интегрирование 262

§ 12.1. Двойные и тройныеы интегралы 262

§ 12.2  Кратное  интегрирование 263

12.2.1 Двойной  интеграл. Прямоугольная область 263

12.2.2 . Двойной интеграл. Произвольная область 264

12.2.3. Тройной интеграл 266 §12.3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сфериче-

ских координатах 267

12.3.1.Двойной интеграл 267

12.3.2. Тройной интеграл 269

§ 12.4. Применение двойных и тройных интегралов 270

12.4.1.  Объем тела 270

12.4.2. Площадь плоской фигуры 272

12.4.3. Объем тела 273

12.4.4. Площадь поверхности 274

12.4.5. Моменты и центр масс 275

12.4.6. Разные задачи 279 § 12.5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие

от параметра 282

12.5.1. Несобственные двойные и тройные интегралы 282 12.5.2. Интегралы зависящие от параметра. Правило

Лейбница 284

12.5.3. Разные задачи 286

Глава 13. Криволинейные интегралы и интегралы по

поверхности . 288

§13.1.  Криволинейные интегралы по длине 288

13.1.1. Вычисление интегралов 288

13.1.2. Применения интегралов 289

§ 13 7. Криволинейны интегралы по координатам 291

13.2.1. Вычисление интегралов 291

13.2.2. Формула Грина • 293 13.2.3. Независимость интеграла от контура интегрирования , Отыскание первообразной 294
3.2.6. Гиперболические функции 62

3.2.7 Логарифмическое дифференцирование 63

3.2.8 Разные функции 63

3.2.9 Обратные функции 67

3.2.10. Функции, заданные неявно 68

3.2.11 Применения производной 69

§ 3.3 Дифференциал Дифференцируемость функции 75

3.3.1. Дифференциал 76

3.3.2 Дифференцируемость функций 79 § 3.4 Производная как скорость изменения (дальнейшие

примеры) 80

3.4.1. Относительная скорость 80

3.4.2. Функции, заданные параметрически 82

3.4.3. Скорость изменения полярного радиуса 85

3.4.4. Скорость изменения длины 86

3.4.5. Скорость движения 87 § 3.5. Повторное дифференцирование 87

3.5.1. Функции, заданные в явном виде 87

3.5.2. Функции, заданные в неявном виде 90

3.5.3. Функции, заданные параметрически 90

3.5.4. Ускорение движения 91

3.5.5. Формула Лейбница 92

3.5.6. Дифференциалы высших порядков 93

Глава 4. Исследование функций и их графиков 95

§ 4.1. Поведение функции 95

§ 4.2. Применение первой производной 96

4.2.1. Теоремы Ролля и Лагранжа 96

4.2.2. Поведение функций в интервале 99

4.2.3. Неравенства 101

4.2.4 Задачи на отыскание наибольших и наименьших

значений функций .. 101

§ 4.3. Применение второй производной 108

4.3.1. Экстремумы 108

4.3.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 108 § 4.4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 112

4.4.1. Теорема Коши и правило Лопиталя 112

4.4.2. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 115

4.4.3 Общее исследование функций и линий 116

4.4.4 Решение уравнений 119 § 4.5. Формула Тейлора и ее применение 121

4.5.1. Формула .Тейлора для многочленов 121

4.5.2. Формула Тейлора 122

4.5.3. Некоторые применения формулы Тейлора 122 § 4.6. Кривизна 123
Глава 5. Определенный интеграл 128

§ 5.1. Опроцеленный интеграл и его простейшие свойства 128

§ 5.1.1. Вычисление иитегралов суммированием 131

§ 5.2. Основные свойства определенного интеграла 133

5.2.1. Геометрическая интерпретация определенного интеграла • 133

5.2.2. Оценка интеграла 133

5.2.3. Среднее значение функции 134

5.2.4. Интеграл с переменным пределом 135

5.2.5. Формуле Ньютона-Лейбница 137

Глава 6 Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление 139

§ 6.1. Простейшеие приемы интегрирования 139

§ 6.2. Основные методы интегрирования 144

6.2.1. Интегрирование по частям 144

6.2.2 Замена переменной 146.

6.2.3. Разные  задачи . 147

§ 6.3. Основные классы интегрируемых функций 150

6.3.1. Дробно-рациональные функции 150

6.3.1.Некоторые иррациональные функции 153

6.3.3. Тригонометрические функции 154

6.3.4. Гиперболические функции 156



6.3.6. Разные функции 158

Глава 7. Способы вычисления определенных интегралов

Несобственные интегралы 160

§ 7.1 Способы точного вычисления интегралов 160

7.1.1 .Непосредственное применение формулы Ньютона-ЛейПница 160

7.1.2. Замена переменной в определенном интеграле 162

7.1.3. Разные задачи 163

§ 7.2. Приближенные методы 167

§ 7.3. Несобственные интегралы 170

7.3.1. Интегралы с бесконечными пределами 170

7.3 2 Интегралы от функций с бесконечными разрывами 171

7.3.3. Разные задачи 172

Глава 8. Применения интеграла 175

§ 8.1. Некоторые задачи геометрии и статики 175

8.1.1. Площадь фигуры 175

8.1.2. Длина линии 180

8.1.3. Объем тела 183

8.1.4. Площадь поверхности вращения 188

8.1.5. Моменты и центр масс 190

8.1.6. Теоремы Гульдина - 194

§ 8.2. Некоторые задачи физики 195
13.2.4. Применения интегралов 296

13.2.5. Работа 297 § 13 3 Интегралы по поверхности 298

13.3.1. Интегралы по площади поверхности 298

13.3.2. Поверхностные интегралы по координатам 299

13.3.3. Формула Стокса 300

13.3.4. Формула Остроградского 301

Глава 14. Дифференциальные уравнения 302

§ 14.1. Уравнения первого порядка 302

14.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными 302

14.1.2. Однородные уравнения 305

14.1.3. Линейные уравнения 306

14.1.4. Разные задачи (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные) 308

14.1.5. Другие примеры уравнений первого порядка 313

14.1.6. Уравнения в полных дифференциалах 314

14.1.7. Интегрирующий множитель 314

14.1.8. Разные задачи 315 § 14.2. Уравнения первого порядка (продолжение) 316

14.2.1. Поле направлений. Изоклины 316

14.2.2. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 317

14.2.3. Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа 319

14.2.4. Ортогональные и изогональные траектории и эвольвенты 320

§ 14.3. Уравнения второго и высших порядков 321

14.3.1. Частные случаи уравнений второго порядка 321

14.3.2. Частные случаи уравнений более высоких порядков 324

14.3.3. Приближенные решения 324 § 14.4. Линейные уравнения 326

14.4.1. Уравнения с постоянными коэффициентами 328

14.4.2. Уравнения высших порядков 333 § 14.5. Системы дифференциальных уравнений 334 § 14.6. Вычислительные задачи 338

Глава (5. Тригонометрические ряды 340

§ 15.1. Тригонометрические многочлены 340

§ 15.2. Ряды Фурье 341

§ 15.3. Метод Крылова. Гармонический анализ 345

Глава 16. Элементы теории поля 347

§ 16.1. Векторное ноле, дивергенция и ротор 347

§ 16.2. Потенциал 350

§ 16.3, Потенциал силы притяжения 351

§ 16.4. Поток и циркуляция (плоский случай) 353 § 16.5. Поток и циркуляция (пространственный случай) 354

Категория: Общая | Добавил: biblioteka (05.07.2012)
Просмотров: 6149 | Рейтинг: 2.6/7

Поиск в библиотеке

Время



Календарь

События

Ссылки