 Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Медведев Г. Н., Шишкин А. А.
Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие/ Под ред. В. Ф. Бутузова. 6-е изд., испр. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 480 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных и должно помочь активному и неформальному усвоению материала. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями. Указаны физические приложения математических понятий.
Для студентов высших учебных заведений.
Предисловие ....................................... 3 ГЛАВА I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Сравнение вещественных чисел..............................................5
§ 2. Точные грани числового множества. Применение символов математической логики ..............................................................7
§ 3. Арифметические операции над вещественными числами............11
§ 4. Метод математической индукции ..........................................14
ГЛАВА II ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Ограниченные и неограниченные последовательности................16
§ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . . 21
§ 3. Свойства сходящихся последовательностей..............................24
§ 4. Замечательные пределы........................................................29
§ 5. Монотонные последовательности............................................32
§ 6. Предельные точки................................................................34
§ 7. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности ....................................................37
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие функции .......................................... 40
§ 2. Непрерывность функции в точке...................... 48
§ 3. Сравнение бесконечно малых функций. Символ "о малое” и его
свойства....................................... 52
§ 4. Вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул. Вычисление пределов показательно-степенных функций ... 58
ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная функции. Правила дифференцирования........ 65
§ 2. Дифференциал функции............................ 77
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков.......... 80 ГЛАВА V НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл..............................87
§ 2. Простейшие неопределенные интегралы..................................89
§ 3. Метод замены переменной....................................................91
§ 4. Метод интегрирования по частям ..........................................94
§ 5. Интегрирование рациональных функций..................................90
§ 6. Интегрирование иррациональных функций..............................100
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций........................106
ГЛАВА VI
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций..................108
§ 2. Равномерная непрерывность функции ....................................112
§ 3. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях................116
§ 4. Правило Лопиталя................................................................122
§ 5. Формула Тейлора..................................................................125
ГЛАВА VII
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
§ 1. Построение графиков явных функций................... 130
§ 2. Исследование плоских кривых, заданных параметрически..... 137
ГЛАВА VIII ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл ..................................................................143
§ 2. Свойства определенного интеграла..........................................149
§ 3. Формула Ньютона- Лейбница..................................................153
§ 4. Вычисление длин плоских кривых..........................................164
§ 5. Вычисление площадей плоских фигур......................................167
§ 6. Вычисление объемов тел........................................................171
§ 7. Физические приложения определенного интеграла....................173
ГЛАВА IX МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Мера множества................................. 177
§ 2. Измеримые функции.............................. 184
§ 3. Интеграл Лебега................................. 186 ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Последовательности точек в m-мерном евклидовом пространстве 191
§ 2. Предел функции..................................................................198
§ 3. Непрерывность функции........................................................204
§ 4. Частные производные и дифференцируемость функции............213
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков .... 225
§ 6. Локальный экстремум функции..............................................236
ГЛАВА XI
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Неявные функции................................................................243
§ 2. Зависимость функций..........................................................257
§ 3. Условный экстремум............................................................261
§ 4. Замена переменных..............................................................269
ГЛАВА XII
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы............................... 279
§ 2. Тройные интегралы............................... 295
§ 3. m-кратные интегралы............................. 312
ГЛАВА XIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейные интегралы первого рода................. 317
§ 2. Криволинейные интегралы второго рода................. 324
§ 3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования ................ 333
ГЛАВА XIV ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Площадь поверхности............................................................345
§ 2. Поверхностные интегралы первого рода..................................353
§ 3. Поверхностные интегралы второго рода..................................360
§ 4. Формула Стокса ..................................................................367
§ 5. Формула Остроградского-Гаусса............................................377
ГЛАВА XV СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 1. Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях . . 383 § 2. Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях ..........................................................................402
§ 3. Интегральные характеристики векторных полей......................407
§ 4. Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах..................................432
Ответы и указания.................................. 437
Предметный указатель................................ 471
| 
