Цубербиллер О. Н. Ц 83 Задачи и упражнения по аналитической геометрии. 33-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2007. — 336 с. ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). Автор задачника — О. Н. Цубербиллер (1885-1975), известный математик, профессор МГУ, где она в 1943-1966 гг. возглавляла кафедру геометрии. Книга выдержала множество изданий и до сих пор остается популярной. Рассчитана в первую очередь на студентов вузов математических и технических специальностей, но будет полезна также и тем, кто изучает математику самостоятельно. В каждом разделе приводятся необходимые сведения из теории. Типовые задачи снабжены решениями, а к большинству задач имеются указания.

Задачник охватывает такие разделы аналитической геометрии, как системы координат; прямые на плоскости; прямые и плоскости в пространстве; кривые и поверхности второго порядка. Отдельная часть книги посвящена основам векторной алгебры.

Предисловие к шестнадцатому изданию ...... » . . г • ®

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ

Глава I. Положение точки на прямой. Основные формулы ...........................9

1. Формулы преобразования координат....................11

2. Основные формулы . . ...............................11

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Глава II. Координаты точки на плоскости. Основные

формулы......................................17

1. Прямоугольные координаты. Графики............17

2. Расстояние между двумя точками. Направление отрезка. Площадь треугольника................................23

3. Деление отрезка в данном отношении..................26

4. Косоугольная система координат......................29

5. Полярная система координат..........................32

6. Проекции. Преобразование координат ......... 34

Глава III. Геометрическое значение уравнений..... 39

1. Построение кривой по ее уравнению........ . 39

2. Составление уравнения кривой по ее геометрическим свойствам....................... 42

Глава IV. Прямая линия................. 51

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении ....... 51

2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой относительно отрезков. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой ... 55

3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой........................ 59

4. Общее уравнение прямой. Пересечение двух прямых. Условие прохождения трех прямых через одну точку. Пучок прямых ............. ....... 66

5. Смешанные задачи на прямую » 73

Глава V. Элементарные свойства кривых второго порядка 75

1. Окружность....................  75

2. Эллипс........................ 84

3. Гипербола . .....................91

4. Парабола . .......... . . .......... 100

5. Полярные уравнения кривых второго порядка.....106

Глава VI. Общая теория кривых второго ворадка .... 107

1. Общее уравнение кривой второго порядка. Преобразование этого уравнения при параллельном перенесении осей координат. Центр кривой ............ 107

2. Условие распадения кривой второго порядка на пару прямых. Исследование общего уравнения второй степени .........................НО

3. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Уравнение касательной ...................И5

4. Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам......119

5. Преобразование уравнения кривой второго порядка

с помощью инвариантов .............. . 127

6. Полюс и поляра.......... ..............130

7. Задачи на фокальные свойства кривых, не отнесенных

к главным направлениям ...............133

8. Смешанные задачи.......................135

часть третья

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Глава VII. Прямоугольные координаты........ . 139

Глава VIII. Геометрическое значение уравнений .... 147

Глава IX. Плоскость ..........................15®

Глава X. Прямая линия в пространства........ 158

1. Уравнение прямой. Угол меаду двумя прямыми. Условие пересечения двух прямых в пространстве..... 158

2. Прямая и плоскость................. 164

Глава XI. Сфера ....................167

Глава XII. Конус и цилиндр...............171

Глава XIII. Поверхности второго порядка, данные простейшими уравнениями............174

Глава XIV. Общая теория новерхностей второго порядка 184

1. Общее уравнение поверхности второго порядка и его преобразование при переносе начала координат. Центр поверхности. Условие, при котором уравнение изображает конус или пару плоскостей...........184

2. Пересечение поверхности с прямой и с плоскостью. Асимптотические направления. Касательная плоскость. 188

3. Диаметральная плоскость. Главные направления. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка

и приведение его к простейшему виду ........193

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ

Глава XV. Векторы н действия над ними ........ 199

!. Векторы. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение векторов .......................199

2. Проекции векторов. Скалярное умножение векторов . . 208

3. Векторное умножение. Смешанное произведение трех векторов. Двойное векторное произведение ...... 212

Глава XVI. Применение векторной алгебры в аналитической геометрии'..............217

1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Основные формулы . 217

2. Геометрическое значение векторных уравнении .... 225

3. Плоскость......................230

4. Прямая линия в пространстве.............235

5. Пряная и плоскость.................240

Ответы и указания .....................244