 Камке Э.
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 576 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Шестое издание книги известного немецкого математика, уникальной по охвату материала. Приведены основные понятия и важнейшие результаты теории. В 1-й части рассмотрены общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов (линейных и нелинейных разных порядков), систем дифференциальных уравнений (линейных и нелинейных), а также приближенные методы интегрирования уравнений первого и высшего порядков. 2-я часть посвящена краевым задачам и задачам о собственных значениях. В 3-й части приведены более 1600 конкретных дифференциальных уравнений с решениями.
Для широкого круга научных работников и специалистов в прикладных областях, инженеров и студентов.
ББК 22.161.6
Обложка: С. Л. Шапиро, А. Ю. Лапшин
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
LOSUNGSMETHODEN UND LOSUNGEN
Dr. Е. КАМКЕ I
GEWOHNLICHE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
6. VERBESSERTE AUFLAGE
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к четвертому изданию
Некоторые обозначения J
Принятые сокращения в библиографических указаниях
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 1. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: y' = f(x, у); основные понятия
1.1. Обозначения и геометрический смысл дифференциального уравнения
1.2. Существование и единственность решения
§ 2. Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной: у' = f(x, у)\ методы решения
2.1. Метод ломаных ■
2.2. Метод последовательных приближений Пикара — Линделёфа
2.3. Применение степенных рядов
2.4. Более общий случай разложения в ряд
2.5. Разложение в ряд по параметру
2.6. Связь с уравнениями в частных производных
2.7. Теоремы об оценках
2.8. Поведение решений при больших значениях х
§ 3. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной: F(y', у, х) = 0
3.1. О решениях и методах решения
3.2. Регулярные и особые линейные элементы
§ 4. Решение частных видов дифференциальных уравнений первого порядка
4.L Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
4.2. у' = f(ax + by + с)
4.3. Линейные дифференциальные уравнения
4.4. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений
4.5. Уравнение Бернулли у'+ f(x)y + g(x)ya = 0
4.6. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся
4.7. Обобщенно-однородные уравнения
4.8. Специальное уравнение Риккати: у' + ау2 = Ьх
4.9. Общее уравнение Риккати: у' = t(x)y2 + g(x)y + h(x)
4.10. Уравнение Абеля первого рода
4.11. Уравнение Абеля второго рода
4.12. Уравнение в полных дифференциалах
4.13. Интегрирующий множитель
4.14. F(y',y,x) =0, «интегрирование посредством дифференцирования»
4.15. (a) y=G(x,y')- (б) x=G(y,y
4.16. (a) G (у', х) = 0; (б) G{y\y) = 0
4.17. (a) y = g(y')-, (б) x = g
4.18. Уравнения Клеро
4.19. Уравнение Лагранжа — Даламбера
4.20. F(x,xy' — у,у') =0. Преобразование Лежандра
Глава II. Произвольные системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных
§ 5. Основные понятия
5.1. Обозначения и геометрический смысл системы дифференциальных уравнений
5.2. Существование и единственность решения
5.3. Теорема существования Каратеодори
5.4. Зависимость решения от начальных условий и от параметров
5.5. Вопросы устойчивости .
§ 6. Методы решения
6.1. Метод ломаных
6.2. Метод последовательных Пикара — Линделёфа .
6.3. Применение степенных рядов
6.4. Связь с уравнениями в частных производных
6.5. Редукция системы с помощью известного соотношения между решениями
6.6. Редукция системы с помощью дифференцирования и исключения
6.7. Теоремы об оценках
§ 7. Автономные системы
7.1. Определение и геометрический смысл автономной системы . .
7.2. О поведении интегральных кривых в окрестности особой точки в случае п => 2 ..
7.3. Критерии для определения типа особой точки
Глава III. Системы линейных дифференциальных уравнений
§ 8. Произвольные линейные системы
8.1. Общие замечания
8.2. Теоремы существование и единственности. Методы решения .
8.3. Сведение неоднородной системы к однородной
8.4. Теоремы об оценках
9.1. Свойства решений. Фундаментальные системы решений
9.2. Теоремы существования и методы решения
9.3. Редукция системы к системе с меньшим числом уравнений . .
9.4. Сопряженная система дифференциальных уравнений
9.5. Самосопряженные системы дифференциальных уравнений . .
9.6. Сопряженные системы дифференциальных форм; тождество Лагранжа, формула Грина
9.7. Фундаментальные решения
§ 10. Однородные линейные системы с особыми точками
10.1. Классификация особых точек
10.3. Сильно особые точки
§ 11. Поведение решений при больших значениях х
§ 12. Линейные системы, зависящие от параметра
§ 13. Лннейные системы с постоянными коэффициентами
13.1. Однородные системы
13.2. Системы более общего вида
Глава IV. Произвольные дифференциальные уравнения п-го порядка
§ 14. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной:
У,{п) = f (х,у,у'.....</(п_1)) .
§ 15. Уравнения, не разрешенные относительно старшей производной:
р{х, у, у'.....!/<п))=0
15.1. Уравнения в полных дифференциалах
15.2. Обобщенно-однородные уравнения
15.3. Уравнения, не содержащие явно х или у
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
§ 16. Произвольные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
16.1. Общие замечания
16.2. Теоремы существования и единственности. Методы решения .
16.3. Исключение производной (п—1)-го порядка
16.4. Сведение неоднородного дифференциального уравнения к однородному
16.5. Поведение решений при больших значениях х
§ 17. Однородные линейные дифференциальные уравнения п-то порядка
17.1. Свойства решений и теоремы существования
17.2. Понижение порядка дифференциального уравнения
17.3. О нулях решений
17.4. Фундаментальные рещения
17.5. Сопряженные, самосопряженные и антисамосопряженные дифференциальные формы
17.6. Тождество Лагранжа; формулы Дирихле и Грина
17.7. О решениях сопряженных уравнений и уравнений в полных дифференциалах
§ 18. Однородные линейные дифференциальные уравнения с особыми
точками
18.1. Классификация особых точек
18.2. Случай, когда точка х = £ регулярная или слабо особая
18.3. Случай, когда точка х = оо’ регулярная или слабо особая
18.4. Случай, когда точка х = £ сильно особая
18.5. Случай, когда точка х = оо сильно особая
18.6. Дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами
18.7. Дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
18.8. Дифференциальные уравнения с двоякопериодическими коэффициентами
18.9. Случай действительного переменного .
§ 19. Решение линейных дифференциальных уравнений с помощью определенных интегралов
19.1. Общий принцип
19.2. Преобразование Лапласа
19.3. Специальное преобразование Лапласа
19.4. Преобразование Меллина
19.5. Преобразование Эйлера . •
19.6. Решение с помощью двойных интегралов
§ 20. Поведение решений при больших значениях х
20.1. Полиномиальные коэффициенты
20.2. Коэффициенты более общего вида
20.3. Непрерывные коэффициенты
20.4. Осцилляционные теоремы
§ 21. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка, зависящие
От параметра
§ 22. Некоторые специальные типы линейных дифференциальных уравнений я-го порядка
22.1. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.2. Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
22.3. Уравнения Эйлера
22.4. Уравнение Лапласа
22.5. Уравнения с полиномиальными коэффициентами
22.6. Уравнение Похгаммера
Глава VI. Дифференциальные уравнения второго порядка
§ 23. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка . .
23.1. Методы решения частных типов нелинейных уравнений
23.2. Некоторые дополнительные замечания '
23.3. Теоремы о предельных значениях .
23.4. Осцилляционная теорема
§ 24. Произвольные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
24.1. Общие замечания
24.2. Некоторые методы решения
24.3. Теоремы об оценках
§ 25. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка
25.1. Редукция линейных дифференциальных уравнений второго порядка
25.2. Дальнейшие замечания о редукции линейных уравнений второго порядка ?
25.3. Разложение решения в непрерывную дробь
25.4. Общие замечания о нулях решений
25.5. Нули решений на конечном интервале
25.6. Поведение решений при х->оо
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с особыми точками
25.8. Приближенные решения. Асимптотические решения; действительное переменное
25.9. Асимптотические решения; комплексное переменное
25.10. Метод ВБК
Глава VII. Линейные дифференциальные уравнения третьего и четвертого порядков
§ 26. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка
§ 27. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка
Глава VIII. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений
§ 28. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка
28.1. Метод ломаных
28.2. Метод добавочного полушага
28.3. Метод Рунге-Хейна-Кутта
28.4. Комбинирование интерполяции и последо»а r
жений
28.5. Метод Адамса
28 6. Дополнения к методу Адамса.
<§ 29. Приближенное интегрирование дифференциальных Уравнения
ших порядков
29.1. Методы приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
29.2. Метод ломаных для дифференциальных УН
порядка уравнений второго порядка.
29.3. Метод Рунге — Кутта для дифференциальньх уравнений
рого порядка
29.4. Метод Адамса — Штёрмера для уравнения
29.5. Метод Адамса — Штёрмера для уравнения
29.6. Метод Блесса для уравнения
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
Глава I. Краевые задачи и задачи о собственных ДЛЯ линеи jg2 ных дифференциальных уравнений л-го поР«Д
§ 1.'Общая теория краевых задач
1.1. Обозначения и предварительные замечания
1.2. Условия разрешимости краевой задачи .
1.3. Сопряженная краевая задача
1.4. Самосопряженные краевые задачи
1.5. Функция Грина р0М0ЩЬЮ функции
1.6. Решение неоднородной краевой задачи Грина
1.7. Обобщенная функция Грина
§ 2. Краевые задачи и задачи о собственных значениях для уравнения
2.1. Собственные значения и собственные фунКции> характеристи-ческий детерминант
2.2. Сопряженная . задача о собственных значениях и р
Грина; полная биортогональная система
2.3. Нормированные краевые условия; регуляр,,ые зад ' ственных значениях
2.4. Собственные значения для регулярных и нерегу р Д
о собственных значениях
2.5. Разложение заданной функции по собственным ФУ Р ' inq гулярных и нерегулярных задач о собственных знач '' 2оо
2.6. Самосопряженные нормальные задачи о собственн
2.7. Об интегральных уравнениях типа Фредгольма.
2.8. Связь между краевыми задачами и интеграл УР ниями типа Фредгольма
2.9. Связь между задачами о собственных значениях р
ными уравнениями типа Фредгольма
2.10. Об интегральных уравнениях типа Вольтера
2.11. Связь между краевыми задачами и интеграл Уравнениями типа Вольтерра
Глава VI. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка
1—72. ay" = F(x,y,y')
104—187. f\x)yy" = F(x,y,y')
188—225. f (x, у) у" = F(x, у, у')
Глава VII. Нелинейные дифференциальные уравнения третьего и более высоких порядков
Глава VIII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Предварительные замечания
1—18. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
19—25. Системы двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами
26—43. Системы двух дифференциальных уравнений порядка
выше первого
44—57. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
Глава IX. Системы нелинейных дифференциальных уравнений
1—17. Системы двух дифференциальных уравнений
18—29. Системы более чем двух дифференциальных уравнений
ДОПОЛНЕНИЯ
О решении линейных однородных уравнений второго порядка (И. Зборни
Дополнения к книге Э. Камке (Д. Митринович
Новый способ классификации линейных дифференциальных уравнений и построения их общего решения с помощью рекуррентных формул
(И. Зворник
Предметный указатель
| 
