Карпук, А. А.
Высшая математика для технических университетов. Интегральное исчисление функций многих переменных /
А. А. Карпук. — Минск: Харвест, 2009. —272 с.
Настоящее издание посвящено интегральному исчислению функций многих переменных. В нем излагается теория двойных и тройных интегралов. криволинейных и поверхностных интегралов. Несколько лекций посвящено элементам векторного анализа.
Наряду с рассмотрением теоретических вопросов в книге приведено достаточное количество решенных задач и упражнений, поясняющих положения теории.
В конце каждой лекции приводятся «Задачи и упражнения» (с ответами), превращающие учебное пособие одновременно и в задачник, что удобно как для студентов, так и для преподавателей. ведущих практические занятия со студентами.
В книге все теоретические положения (теоремы, формулы) строго обосновываются и иллюстрируются многочисленными примерами. Содержание Введение.............................................................■..............3 Лекция 1. Двойные интегралы........................................4 Задачи, приводящие к двойному интегралу. Определение двойного интеграла и условия его существования. Свойства двойных интегралов. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Изменение порядка интегрирования. Задачи и упражнения
Лекция 2. Замена переменных в двойном интеграле...................................................30
Отображение областей. Криволинейные координаты. Площадь в криволинейных координатах. Якобиан. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной и обобщенной полярной системах координат. Задачи и упражнения
Лекция 3. Тройные интегралы......................................44
Задача,, приводящая к тройному интегралу. Определение тройного интеграла и его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат (ДСК). Замена переменных интегрирования в тройных интегралах. Криволинейные координаты в пространстве. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат (ЦСК) и в сферической системе координат (ССК). Обобщенные сферические координаты. Задачи и упражнения
Лекция 4. Приложения кратных интегралов...............67
Способы задания поверхностей. Нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Дифференциал площади поверхности. Центр тяжести плоской пластинки. Статические моменты и моменты инерции плоской пластинки. Центр тяжести тела.Статические моменты тела. Моменты инерции тела. Задачи и упражнения
Лекция 5. Криволинейные интегралы 1-го рода.......................................................................87
Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Свойства криволинейных интегралов 1-го рода. Некоторые применения криволинейных интегралов 1-го рода (масса материальной кривой; вычисление координат центра тяжести, моментов инерции кривой; притяжение точечной массы материальной кривой). Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода. Криволинейные интегралы 1-го рода в пространстве. Задачи и упражнения
Лекция 6. Криволинейные интегралы 2-го рода...................................................................
Ориентированные кривые. Задача о работе силового поля вдоль кривой. Определение криволинейного интеграла 2-го рода. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Задачи и упражнения
Лекция 7. Формула Грина...........................................114
Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Формула Грина и ее приложение к вычислению площадей плоских фигур. Задачи и упражнения
Лекция 8. Поверхностные интегралы .......................136
Определение поверхностного интеграла 1-го рода. Свойства и вычисление поверхностных интегралов 1-го рода. Приложения поверхностных интегралов 1-го рода (площадь и масса поверхности, координаты центра тяжести и моменты инерции поверхности). Ориентация и нормаль к поверхности. Двусторонние и односторонние поверхности. Определение поверхностного интеграла 2-го рода. Свойства и вычисление поверхностных интегралов 2-го рода. Задачи и упражнения
Лекция 9. Формулы Остроградского и Стокса.........165
Вывод формулы Остроградского. Вычисление позерхност-ных интегралов с помощью формулы Остроградского. Пред ставление объема тела через поверхностный интеграл. Вывод формулы Стокса. Вычисление пространственных криволинейных интегралов с помощью формулы Стокса. Задачи и упражнения
Лекция 10. Элементы векторного анализа................185
Поток векторного поля через поверхность. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Различные типы симметрии полей. Производная скалярного поля по направлению. Градиенты скалярного поля. Инвариантное определение градиента. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. Поток поля скоростей текущей жидкости через поверхность. Поток векторного поля в общем случае, его свойства и вычисление. Поток вектора через замкнутую поверхность. Задачи и упражнения
Лекция 11. Соленоидальные и потенциальные векторные поля.........................................................218
Дивергенция векторного поля. Инвариантное определение дивергенции. Дивергенция в ДСК. Свойства дивергенции. Векторная форма формулы Остроградского. Циркуляция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля и его свойства. Векторная запись формулы Стокса. Инвариантное определение ротора. Физический смысл ротора. Соленоидальные и потенциальные векторные поля. Криволинейный интеграл в потенциальном поле. Задачи и упражнения
Лекция 12. Дифференциальные операции второго порядка. Векторные операции в криволинейных ортогональных координатах....................................242
Оператор Гамильтона «набла». Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Гармонические функции. Криволинейные ортогональные координаты в пространстве. Коэффициенты Ламе в различных ортогональных системах координат. Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат. Потенциал в криволинейных координатах. Задачи и упражнения
Литература....................................................................264
|