 Марон И. А.
Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной: Учебное пособие. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2008. — 400 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Книга представляет собой пособие по решению задач по математическому анализу, в нее вошли практически все темы раздела «функции одной переменной»: пределы, дифференцирование, исследование функций, основные методы интегрирования, определенные интегралы и их приложения, несобственные интегралы. Большинство параграфов книги содержит краткие теоретические сведения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Кроме задач алгоритмически-вычислительного характера, в ней содержится много задач, иллюстрирующих теорию и способствующих более глубокому ее усвоению, развивающих самостоятельное математическое мышление учащихся.
Пособие предназначено для студентов технических и экономических специальностей. Оно может оказаться также полезным лицам, желающим повторить и углубить вузовский курс математического анализа, и преподавателям высшей математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию.................... 5
Глава 1, Введение в математический анализ............................7
§ 1.1. Действительные числа. Абсолютная величина действительного числа 7
§ 1.2. Понятие функции. Область определения.............11
§ 1.3. Элементарное исследование функций ..............17
§ 1.4. Обратные функции.......................22
§ 1.5. Построение графиков функций.................24
§ 1.6. Числовые последовательности. Предел последовательности .... 34
§ 1.7. Вычисление пределов последовательностей............40
§ 1.8. Признаки существования предела последовательности......42
§ 1.9. Предел функции........................47
§ 1.10. Техника вычисления пределов .................51
§ 1.11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение их 58
§ 1.12. Эквивалентные бесконечно малые. Применение к отысканию пределов 61
§ 1.13. Односторонние пределы.....................64
§ 1.14. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация . . 66 § 1.15. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции ....................72
§ 1.16. Свойства функции, непрерывной на отрезке. Непрерывность обратной
функции............................74
§ 1.17. Дополнительные задачи ....................78
Глава II. Дифференцирование функций...............84
§ 2.1. Понятие производной ..................... 84
§ 2.2. Дифференцирование явно заданных функций ..........86
§ 2.3. Повторное дифференцирование явно заданных функций. Формула
Лейбница ........................... 92
§ 2.4. Дифференцирование обратных функций и функций, заданных неявно
или параметрически ......................96
§ 2.5. Приложения производной....................100
§ 2.6. Дифференциал функции. Приложение к приближенным вычислениям 106 § 2.7. Дополнительные задачи ....................110
Глава III. Применение дифференциального исчисления к исследованию
функций............................113
§ 3.1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях ........113
§ 3.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя........119
§ 3.3. Формула Тейлора. Приложение к приближенным вычислениям . . 124 § 3.4. Локальная формула Тейлора. Применение к вычислению пределов 128
§ 3.5. Признаки монотонности функции................129
§ 3.6. Максимумы и минимумы функции................132
§ 3.7. Отыскание наибольших и наименьших значений функции .... 138 § 3.8. Решение задач геометрического и физического содержания . . . .141
§ 3.9. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба........ 145
§ 3.10. Асимптоты ...........................148
§ 3.11. Общее исследование функции..................152
§ 3.12. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений .............................160
§ 3.13. Дополнительные задачи ....................167
Глава IV. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования 171
§ 4.1. Непосредственное интегрирование и метод разложения......171
§ 4.2. Метод подстановки.......................175
§ 4.3. Интегрирование по частям...................178
§ 4.4. Рекуррентные формулы ....................187
Глава V. Основные классы интегрируемых функций..........190
§ 5.1. Интегрирование рациональных функций .............190
§ 5.2. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.....195
§ 5.3. Подстановки Эйлера . . . ■...................198
§ 5.4. Другие методы интегрирования иррациональных выражений . . . 200
§ 5.5. Интегрирование биномиального дифференциала .........203
§ 5.6. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций . 205 § 5.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью
тригонометрических или гиперболических подстановок ...... 212
§ 5.8. Интегрирование других трансцендентных функций........214
§5.9. Обзор методов интегрирования (основных видов интегралов) . . . 216
Глава VI. Определенный интеграл..................221
§ 6.1. Понятие определенного интеграла................221
§ 6.2. Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона — Лейбница .............................229
§ 6.3. Оценки интеграла. Определенный интеграл как функция своих пределов .............................233
$ 6.4. Замена переменной в определенном интеграле..........246
§ 6.5. Упрощение интегралов, основанное на свойствах симметрии подынтегральных функций......................257
§ 6.6. Интегрирование по частям. Вывод рекуррентных формул .... 262
§ 6.7. Приближенное вычисление определенных интегралов.......269
§ 6.8. Дополнительные задачи ....................273
Г лава VII. Приложения определенного интеграла...........276
§ 7.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенных интегралов 276
§ 7.2. Вычисление средних значений функции.............278
§ 7.3. Вычисление площадей в декартовых координатах........282
§ 7.4. Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
(контура)...........................291
§ 7.5. Площадь в полярных координатах...............294
§ 7.6. Вычисление объемов тел....................298
§ 7.7. Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых
координатах..........................306
§ 7.8. Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически.....308
§ 7.9. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах 311
§ 7.10. Вычисление площади поверхности вращения...........314
§ 7.11. Смешанные задачи на геометрические приложения определенного
интеграла...........................319
§ 7.12. Вычисление давления, работы и других физических величин . . . 326 § 7.13. Вычисление статических моментов и моментов инерции. Определение
координат центра тяжести . ..................330
§ 7.14. Дополнительные задачи ....................339
Глава VIII. Несобственные интегралы................343
§ 8.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.......343
§ 8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций......353
§ 8.3. Геометрические и физические приложения несобственных интегралов 364
§ 8.4. Дополнительные задачи ....................369
Ответы и указания .............................371
| 
