 Соловьев И. А., Шевелев В. В., Червяков А. В., Репин А. Ю.
Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Кратные интегралы, теория поля, теория функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 448 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 978-5-8114-0907-5
Пособие посвящено практическому освоению теоретического материала по следующим разделам высшей математики: кратные интегралы, основы векторного анализа, элементы теории функций комплексного переменного, обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы с основами теории устойчивости.
Предлагается последовательное изучение методов решения основных задач по каждому разделу. Имеется большое количество задач для самостоятельного решения, которые снабжены ответами. Пособие содержит расчетно-графические задания по всем рассмотренным темам.
В пособии излагаются основы высшей математики, поэтому оно может быть полезным для студентов инженерных специальностей, университетов, академий, технических, экономических, финансовых и экологических вузов как очной, так и заочной или дистанционной форм обучения. Расчетно-графические задания могут использоваться преподавателями в качестве заданий для самостоятельной внеаудиторной работы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................................3
Глава 1
Кратные интегралы и их приложения ........................................5
1.1. Двойные интегралы..............................................................5
1.1.1. Жорданова мера плоской области Q........................5
1.1.2. Двойной интеграл Римана по прямоугольнику D . . 7
1.1.3. Двойной интеграл Римана по произвольному измеримому по Жордану множеству.............8
1.1.4. Основные свойства интеграла Римана
на измеримом по Жордану множестве П..................9
1.1.5. Приведение двойного интеграла к повторному .... 10
1.1.6. Общее определение двойного интеграла..................14
1.1.7. Замена переменных в двойном интеграле Римана . 15
1.2. Тройные интегралы.....................................18
1.2.1. Мера Жордана пространственной области..............18
1.2.2. Тройной интеграл Римана
по измеримому множеству П....................................20
1.2.3. Замена переменных в тройном интеграле................22
1.3. Применение двойных и тройных интегралов ....................29
1.3.1. Геометрические применения....................................29
1.3.2. Физические применения двойных
и тройных интегралов ..............................................31
1.4. Общие кратные интегралы..................................................32
1.5. Несобственные кратные интегралы....................................34
1.6. Задачи с решениями к главе 1 ............................................39
1.7. Задачи к главе 1....................................................................79
Глава 2
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Основы векторного анализа..........................................................90
2.1. Криволинейные интегралы I рода ......................................90
2.2. Криволинейные интегралы II рода......................................95
2.3. Поверхностные интегралы I рода................... 101
2.4. Поверхностные интегралы II рода.................. 105 2.5. Формула Грина ...............................................110
2.6. Формула Гаусса-Остроградского......................................113
2.7. Формула Стокса..................................................................115
2.8. Основные операции векторного анализа в декартовых, цилиндрических и сферических координатах..................117
2.9. Задачи с решениями к главе 2 ..........................................119
2.10. Задачи к главе 2..................................................................155
Глава 3
Теория функций комплексной переменной..............................165
3.1. Определение комплексного числа......................................165
3.2. Действия над комплексными числами..............................165
3.3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел ... 167
3.4. Извлечение корня из комплексного числа........................170
3.5. Последовательность комплексных чисел и ее предел . . . 173
3.6. Определение функции комплексной переменной............174
3.6.1. Основные понятия ..................................................174
3.6.2. Предел функции комплексной переменной..........185
3.6.3. Непрерывность функции
комплексной переменной........................................191
3.7. Производная и дифференциал функции
комплексной переменной..................................................192
3.8. Элементарные функции комплексной переменной..........194
3.9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной............212
3.10. Интеграл от функции комплексной переменной..............213
3.11. Интегральная теорема Коши..............................................215
3.11.1. Теорема Коши........................................................215
3.11.2. Первообразная и неопределенный интеграл .... 216
3.12. Интегральная формула Коши............................................219
3.12.1. Интегральная формула Коши..............................219
3.12.2. Формула для производных ..................................219
3.13. Ряды функций комплексной переменной........................224
3.13.1. Основные определения и понятия........................224
3.13.2. Равномерная сходимость......................................226
3.13.3. Свойства равномерно сходящихся рядов............226
3.13.4. Степенные ряды. Теорема Абеля..........................227
3.13.5. Ряд Тейлора ..........................................................229
3.13.6. Представление некоторых элементарных функций комплексной переменной степенными рядами..........................229
3.13.7. Ряд Лорана............................................................235
3.13.8. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции и их классификация . . 236
3.13.9. Нули аналитической функции ............................238
3.13.10. Вычет аналитической функции
в изолированной особой точке..............................241
3.13.11. Логарифмический вычет функции.
Принцип аргумента..............................................246
3.14. Определение преобразования Лапласа..............................248 3.14.1. Свойства преобразования Лапласа........... 250
3.14.2. Формула обращения....................... 252
3.14.3. Теорема разложения....................... 252
3.14.4. Теорема о предельных значениях............ 254
3.14.5. Нахождение изображений функций непосредственно с помощью определения
и с использованием таблиц изображений...... 254
3.14.6. Изображение производных и интеграла
от оригинала............................. 257
3.14.7. Отыскание оригинала по изображению........ 257
3.14.8. Применение операционного исчисления
к решению некоторых дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений.............. 260
3.14.9. Справочные таблицы...................... 264
3.15. Задачи для самостоятельного решения.............. 266
Глава 4
Обыкновенные дифференциальные уравнения............ 273
4.1. Основные понятия и теоремы...................... 273
4.2. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка........................ 275
4.2.1. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными............. 275
4.2.1.1. Задачи с решениями................. 276
4.2.1.2. Задачи для самостоятельного решения . . 278
4.2.2. Однородные уравнения и приводящиеся к ним . . 278
4.2.2.1. Задачи с решениями................. 281
4.2.2.2. Задачи для самостоятельного решения . . 284
4.2.3. Линейные ОДУ первого порядка с ненулевой правой частью. Уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати ........................ 285
4.2.3.1. Задачи с решениями................. 289
4.2.3.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 294
4.2.4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель................. 295
4.2.4.1. Задачи с решениями................. 298
4.2.4.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 301
4.2.5. ОДУ, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро................ 302
4.2.5.1. Задачи с решениями................. 304
4.2.5.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 307
4.3. Методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений высших порядков...................... 308
4.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка............. 308
4.3.1.1. Задачи с решениями................. 309 4.3.1.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 311
4.3.2. Линейные ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами........................... 311
4.3.2.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.
Определители Вронского и Грамма..... 311
4.3.2.2. Линейные ОДУ п-то порядка
с постоянными коэффициентами и нулевыми правыми частями......... 313
4.3.2.3. Задачи с решениями................. 315
4.3.3. Линейные ОДУ п-то порядка с постоянными коэффициентами и ненулевой правой частью .... 317
4.3.3.1. Задачи с решениями................. 320
4.3.3.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 323
4.4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 324
4.4.1. Основы теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений............... 324
4.4.2. Примеры систем дифференциальных
уравнений с решениями..................... 334
4.4.3. Задачи для самостоятельного решения......... 355
4.5. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений...................................... 358
4.5.1. Устойчивость по Ляпунову................... 358
4.5.1.1. Задачи с решениями................. 362
4.5.1.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 365
4.5.2. Второй метод Ляпунова..................... 366
4.5.2.1. Задачи с решениями................. 368
4.5.2.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 371
4.5.3. Исследование на устойчивость
с помощью абсолютной погрешности .......... 372
4.5.3.1. Задачи с решениями................. 373
4.5.3.2. Задачи для самостоятельного решения
с ответами......................... 376
Расчетно-графические задания......................... 379
Ответы............................................. 417
Список литературы................................... 440
| 
