 Червяков А. В., Репин А. Ю.
Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения: Учебное пособие. 2-е изд., испр. — СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 320 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Учебное пособие посвящено практическому освоению теоретического материала по следующим разделам высшей математики: векторная алгебра, аналитическая геометрия, элементы линейной алгебры, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Предлагается последовательное изучение методов решения основных задач по каждому разделу. Имеется большое количество задач для самостоятельного решения, которые снабжены ответами. Пособие содержит расчетно-графические задания по всем рассмотренным темам.
В пособии излагаются основы высшей математики, поэтому оно может быть полезным для студентов инженерных специальностей университетов, академий, технических, экономических, финансовых, экологических и сельскохозяйственных вузов как очной, так и заочной или дистанционной форм обучения. Расчет-но-графические задания могут использоваться преподавателями в качестве заданий для самостоятельной внеаудиторной работы. Предполагается выпуск дальнейших частей учебного пособия.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................................3
Глава 1
Элементы линейной алгебры........................................................5
1.1. Матрицы и определители......................................................5
1.2. Линейные пространства........................................................15
1.3. Аналитические методы решения систем
линейных алгебраических уравнений..................................17
1.3.1. Основные определения............................................17
1.3.2. Метод, основанный на применении
обратной матрицы (матричный метод)................20
1.3.3. Метод Крамера........................................................21
1.3.4. Метод Гаусса............................................................21
1.4. Линейные преобразования (отображения)..........................29
1.5. Собственные значения и собственные векторы
линейных операторов............................................................34
1.6. Евклидовы пространства......................................................35
1.7. Квадратичные формы.
Приведение к каноническому виду уравнений
кривых и поверхностей второго порядка............................37
1.8. Решение типовых задач........................................................40
1.9. Задачи....................................................................................75
Глава 2
Векторная алгебра ........................................................................79
2.1. Координаты точки и вектора................................................79
2.2. Деление вектора в данном отношении..................................83
2.3. Преобразования координат ....................................................83
2.4. Полярная система координат и ее связь
с декартовой системой..........................................................84
2.5. Связь между декартовыми прямоугольными
и полярными координатами..................................................85
2.6. Линейная зависимость
и независимость системы векторов......................................85
2.7. Скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов....................................87 2.7.1. Скалярное произведение векторов
и его свойства............................. 87
2.7.2. Векторное произведение двух векторов
и его свойства............................. 89
2.7.3. Смешанное произведение векторов
и его свойства............................. 91
2.8. Решение типовых задач............................ 93
2.9. Задачи..................................................................................104
Глава 3
Аналитическая геометрия на плоскости....................................107
3.1. Прямая линия......................................................................107
3.2. Решение типовых задач......................................................111
3.3. Кривые второго порядка......................................................122
3.4. Решение типовых задач......................................................129
3.5. Задачи..................................................................................133
Глава 4
Аналитическая геометрия в пространстве................................137
4.1. Плоскость и прямая............................................................137
4.2. Решение типовых задач......................................................141
4.3. Поверхности второго порядка............................................150
4.4. Решение типовых задач......................................................154
4.5. Задачи.........................................................................157
Глава 5
Введение в математический анализ ..........................................159
5.1. Элементы теории множеств................................................159
5.1.1. Множества и операции над ними........................159
5.1.2. Взаимно однозначное соответствие
и эквивалентность множеств................................161
5.1.3. Прямое произведение множеств..........................161
5.2. Множество вещественных (действительных) чисел..........161
5.2.1. Основные свойства вещественных чисел............162
5.2.2. Ограниченные множества вещественных чисел 164
5.2.3. Некоторые конкретные
множества вещественных чисел..........................164
5.2.4. Структура открытых и замкнутых
множеств на прямой ............................................165
5.3. Основные логические символы..........................................166
5.4. Кванторы..............................................................................167
5.5. Предел последовательности................................................168
5.6. Функции действительного переменного............................175
5.6.1. Введение понятия функции
и основные способы задания функций................175
5.6.2. Некоторые свойства функций..............................177
5.6.3. Элементарные функции и их классификация . . 180
5.7. Предел функции..................................................................181
5.7.1. Определение предела функции
и его геометрический смысл................................181 5.7.2. Основные теоремы о пределах..............................185
5.7.3. Бесконечно большие
и бесконечно малые функции..............................186
5.7.4. Свойства бесконечно малых
и бесконечно больших функций..........................188
5.7.5. Два замечательных предела ................................189
5.7.6. Некоторые способы
раскрытия неопределенностей............................189
5.7.7. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших,
таблицы основных эквивалентных величин ... 192
5.7.8. Сравнение бесконечно больших функций..........195
5.8. Решение типовых задач......................................................197
5.9. Задачи..................................................................................209
Глава 6
Производная и дифференциал функции
одной независимой переменной..................................................212
6.1. Определения производной и дифференциала....................212
6.2. Правила нахождения производных и дифференциалов суммы, разности,
произведения и частного функций....................................214
6.3. Дифференцируемость. Производные сложных
функций, обратных функций. Таблица производных. . . 214
6.4. Инвариантность формы первого дифференциала............216
6.5. Логарифмическое дифференцирование............................216
6.6. Производная функции, заданной параметрически..........218
6.7. Производные и дифференциалы высших порядков .... 218
6.8. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши ....................................219
6.9. Правило Лопиталя..............................................................220
6.10. Формулах Тейлора и Маклорена........................................221
6.11. Уравнения касательной и нормали к графику кривой .. 222
6.12. Интервалы монотонности, экстремумы............................223
6.13. Наибольшее и наименьшее значения
непрерывной функции на отрезке и интервале................224
6.14. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба . . . 225
6.15. Общая схема исследования функций
и построения графиков......................................................228
6.16. Кривизна кривой................................................................228
6.17. Решение типовых задач......................................................230
6.18. Задачи..................................................................................262
Расчетно-графические задания..................................................274
Ответы..........................................................................................302
Список литературы......................................................................316
| 
