Большое число детально разобранных задач помоя^' студентам усваивать важнейшие идеи и методы решен# примеров, данных для самостоятельной работы. Этот л1 набор примеров может быть использован преподавателе1 ми вузов как задачник.

СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.................4

§1. Матрицы и определители.....................................4
1.1 Первоначальные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц...................4
1.2. Определители второго и более высоких порядков. Свойства определителей .....................8
1.3. Обратная матрица. Существование и структура обратной матрицы..........................................12
Задачи для самостоятельной работы.....................14
§2. Системы линейных алгебраических уравнений.....15
2.1. Метод Крамера............................................15
2.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений .....................................................18
2.3. Метод Гаусса...............................................19
§3. Пространства Rn..................................................................29
3.1. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов......................30
3.2. Базис пространства Rn..................................32
3.3. Скалярное произведение векторов. Норма вектора.........................................................38
3.4. Векторное произведение векторов..................49
3.5. Смешанное произведение векторов.................53
Задачи для самостоятельной работы.....................58

Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ.............................................................63

§1. Прямая линия в R3...........................................................................63
1.1. Векторное и параметрические уравнения прямой..........................................................63
1.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Отрезок прямой. Деление отрезка в данном отношении...........................65
§ 2. Плоскость .......................................................69
2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.........................................................69
2.2. Общее уравнение плоскости и его исследование .................................................70

2.3. Угол между двумя плоскостями ....................72
2.4. Задачи на составление уравнения плоскости ... 73 §3. Прямая и плоскость..........................................79
3.1. Взаимное расположение прямой и плоскости ..79
3.2. Угол между прямой и плоскостью .................81
3.3. Расстояние от точки до плоскости ..................84
§4. Прямая в R2.........................................................................................91
4.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Пучок прямых .... 91
4.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки................................................93
4.3. Угол между двумя прямыми, условие параллельности и условие перпендикулярности прямых.........................................................94
4.4. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Общее уравнение прямой....................95
4.5. Расстояние от точки до прямой ................... 103

Глава 3. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ......................110

§1. Кривые второго порядка..................................110
1.1. Эллипс. Вывод уравнения и исследование формы......................................................... 110
1.2. Гипербола. Вывод уравнения......................114
1.3. Парабола. Вывод уравнения........................ 117
§2. Преобразования систем координат. Приведение
кривых второго порядка к каноническому виду... 118
2.1. Параллельный перенос координатных осей ... 118
2.2. Поворот координатных осей........................118
2.3. Приведение к каноническому виду и построение кривых второго порядка ...............120
§3. Полярная система координат. Уравнения линий в
полярных координатах .....................................126
Примеры для самостоятельной работы................131
§4. Поверхности второго порядка. Метод сечений. ... 131
4.1. Эллипсоид...............'..................................131
4-2. Параболоиды .............................................134
4.3. Гиперболоиды............................................135
4.4. Цилиндры и конусы...................................136
4.5. Линейчатые поверхности............................ 137

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ........................................................ 139

§1. Понятие функции............................................ 139
1.1. Функция как отображение.......................... 139
1.2. График функции........................................ 139
1.3. Понятие сложной функции......................... 141
1.4. Элементарные функции.............................. 141
1.5. Обратные функции..................................... 142
§ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции.......................................................... 143
2.1. Понятие окрестности точки. Понятие предельной точки множества. Область,
граница области........................................... 143
2.2. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)............. 146
2.3. Основные теоремы о бесконечно малых функциях.................................................... 148
2.4. Бесконечно большие функции (б.б.ф.).......... 150
§3. Понятие предела функции. Основные теоремы о
пределах ......................................................... 153
Примеры для самостоятельной работы................ 161
§4. Геометрическое истолкование понятия предела на бесконечности для функций одной переменной.
Асимптоты ...................................................... 163
§5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции........................................................... 166
5.1. Первый замечательный предел.................... 166
5.2. Второй замечательный предел ..................... 167
5.3. Сравнение б.м.ф. Эквивалентные б.м.ф. ....... 170
5.4. Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные б.б. функции......................... 172
Примеры для самостоятельной работы................ 175
§6. Непрерывные функции. Основные теоремы о
непрерывных функциях.................................... 178
6.1. Понятие непрерывности функции................ 178
6.2. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций...................................................... 179

6.3. Дальнейшие свойства непрерывных
функций......................................................180
6.4. Точки разрыва. Нахождение вертикальных асимптот ..................................................... 183
Примеры для самостоятельной работы................186

Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.........................................187

§1. Понятие производной ......................................187
§2. Общие правила дифференцирования.................. 191
§3. Производные элементарных функций. Техника
дифференцирования ......................................... 194
3.1. Производные функций tgx и ctgx......................194
3.2. Производная показательной функции ..........195
3.3. Производная степенной функции.................195
3.4. Производные обратных тригонометрических функций...................................................... 196
3.5. Примеры нахождения производных............. 198
Примеры для самостоятельной работы...........-.....202
3.6. Производная показательно-степенной функции...................................................... 204
3.7 Дифференцирование обратной функции.........205
3.8. Неявные функции одной переменной и их
дифференцирование......................................207
§4. Геометрический смысл производной. Уравнение
касательной и нормали к плоской кривой...........211
Задачи для самостоятельной работы...................213
§ 5. Линеаризация и дифференциал .......................214
Задачи для самостоятельной работы...................219

Глава 6. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ................220
§1. Понятие экстремума. Теоремы Ферма и
Ролля..........................................................220
§2. Теоремы Коши и Лагранжа..........................225
§3. Правило Лопиталя. Раскрытие
неопределенностей........................................228
Примеры для самостоятельной работы................237

Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ...............................240
§1. Монотонность и экстремумы функций...........240

Упражнения.................................................... 248
§2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба .. 248
Упражнения.................................................... 255
§3. Общая схема исследования функций и построение
графиков......................................................... 256
Задачи для самостоятельной работы................... 264
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке. Иинженерные задачи........................... 266
Задачи для самостоятельной работы................... 275

Глава 8. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО

АРГУМЕНТА.................................................. 278

§1. Понятие вектор-функции................................. 278
§2. Предел вектор-функции. Непрерывность............ 282
§3. Дифференцирование вектор-функций................ 283
§4. Геометрический смысл производной вектор-
функции. Механический смысл......................... 286

Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.....................................295

§1. Производная по направлению. Частные
производные........................:........................... 295
§2. уравнение касательной плоскости к поверхности.
Полный дифференциал функции........................ 302
§ 3. Связь между частными производными и
производной по направлению............................. 308
§4. Градиент. Связь производной по направлению
с градиентом. Линии уровня.............................. 309
Задачи для самостоятельной работы................... 317
§5. Производные высших порядков........................ 318
§6. Экстремумы функций двух переменных. Наибольшееи наименьшее значения функции....................... 319
Задачи для самостоятельной работы................... 329

Глава 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..........331

§ 1. Первое знакомство с неопределенным
интегралом....................................................... 331
Таблица неопределенных интегралов.................. 335
Примеры для самостоятельной работы................ 339
§2. Метод замены переменной (метод подстановки) .. 341
§3. Интегрирование по частям............................... 369
§4. Интегрирование рациональных дробей .............. 383

4.1. Подход к интегрированию правильных рациональных дробей ...................................384
4.2. Представление правильных рациональных дробей.........................................................
4.3. Методы нахождения неопределенных коэффициентов ............................................387
4.4. Интегрирование неправильных рациональных дробей.........................................................°^
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных и
тригонометрических функций............................ 394
5.1. Рационализация подстановкой....................394
5.2. Интегралы вида Jsinmx • cos” xdx. ...............396
5.3. Интегралы вида J = \R(tgx)dx, j R{ctgx)dx,
{ J^fsin2 x, cos2 x^ix, где R — рациональная
qqo
функция......................................................оэо
5.4. Интегралы вида fij(sinx,cosx)dx.
Универсальная подстановка..........................400
Литература..........................................................^09