 Берман Г. Н.
Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 608 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). Учебное пособи»' предназначено для: студентов, изучающих математический анализ а объеме программы для высших технических учебных заведений. «Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам: курса математического анализа.
Настоящая книга - значительно расширенный вариант известного «Сборника задач по курсу математического анализа» того же актора. По сравнению с двадцать вторым изданием «Сборника* (2002 г.) добавлен обширный раздел с решениями типичных, а также наиболее трудных задач. Кроме того, для удобства пользования пособием в начале каждого параграфа приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач. Количество решенных задач составляет примерно пятую часть общего их числа, поэтому задачник может использоваться при самостоятельной подготовке студентов.
Глава I Функции 11
§ 1.1 Первоночальные сведения о функции
I. I. I. Функции и способы их задания
1.1.2. Сложные и неявно заданные функции 13
§ 1.2. Простейшие свойства функцийI 14
1.2.1. Область определения функции 14
1.2.2.Элементы поведения функции 17
§ 1.3. Элементарные функции. Обратная функция 19
Глава 2. Предел. Непрерывности 30
§ 2.1. Основные определения 30
9.1.1 Функции целочисленного аргумента 30
2.1.2. Функции непрерывного аргумента 32
§ 2.2. Бесконечные величины. Признаки существования предела
предела 32
2.2.1.Бесконечные величины 32
2.2.2.Признаки существовании предела 35
§2.3. Непрерывные функции 35
§ 2.4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых 38
2.4.1.Функции целочисленного аргумента 38
2.4.2.Функция непрерывного аргумента 39
2.4.3. Сравнение бесконечно малых 45
2.4.4. Некоторые геометрические задачи 47
2.4.5. Вычислительные задачи 50 Глава 3. Производная и дифференциал. Дифференциальное
исчисление 51 § 3.1. Производная, Скорость изменения функции 51
3.1.1. Некоторые задачи физики 51
3.1.2. Производная функции 53
3.1.3. Геометрический смысл производной 54
§ 3.2. Дифференцирование функций 55
3.2.1.Степенные функции 56
3.2.2. Тригонометрические функции 58
3.2.3. Обратеые тригонометрические функции 60
3.2.4. Логарифмические функции . 60
3.2.5. Показательные функции 61 3.2.6. Гиперболические функции 62
3.2.7 Логарифмическое дифференцирование 63
3.2.8 Разные функции 63
3.2.9 Обратные функции 67
3.2.10. Функции, заданные неявно 68
3.2.11 Применения производной 69
§ 3.3 Дифференциал Дифференцируемость функции 75
3.3.1 Дифференциал 76
3.3.2 Дифференцируемость функций 79 § 3.4 Производная как скорость изменения (дальнейшие
примеры) 80
3.4.1. Относительная скорость 80
3.4.2. Функции, заданные параметрически 82
3.4.3. Скорость изменения полярного радиуса 85
3.4.4. Скорость изменения длины 86
3.4.5. Скорость движения 87 § 3.5. Повторное дифференцирование 87
3.5.1. Функции, заданные в явном виде 87
3.5.2. Функции, заданные в неявном виде 90
3.5.3. Функции, заданные параметрически 90
3.5.4. Ускорение движения 91
3.5.5. Формула Лейбница 92
3.5.6. Дифференциалы высших порядков 93
Глава 4. Исследование функций и их графиков 95
§ 4.1. Поведение функции 95
§ 4.2. Применение первой производной 96
4.2.1. Теоремы Ролля и Лагранжа 96
4.2.2. Поведение функций в интервале 99
4.2.3. Неравенства 101
4.2.4 Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций .. 101
§ 4.3. Применение второй производной 108
4.3.1. Экстремумы 108
4.3.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 108 § 4.4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 112
4.4.1. Теорема Коши и правило Лопиталя 112
4.4.2. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 115
4.4.3 Общее исследование функций и линий 116
4.4.4 Решение уравнений 119 § 4.5. Формула Тейлора и ее применение 121
4.5.1. Формула Тейлора для многочленов 121
4.5.2. Формула Тейлора 122
4.5.3. Некоторые применения формулы Тейлора 122 § 4.6. Кривизна 123 Глава 5. Определенный интеграл 128
Определенный интеграл и его простейшие свойства 128
5.1.1. Вычисление интегралов суммированием 131
Основные свойства определенного интеграла 133
Основные свойства определенного интеграла .133
5.2.2. Оценка интеграла 133 5.2.4 Среднее значение функции 134
5.2.4. Интеграл с переменным пределом 135 Формула Ньютона-Лейбниц 137
Глава 6. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление 139 § 6.1. Простейшие примеры интегрирования 139 § 6.2. Основные методы интегрирования 144 § 6.2.1 Интегрирование по частям 144
6.2.2 Замена переменной 145
§ 6.3. Разные задачи . 147
Основные классы интегрируемых функций 150
Дробно-рациональне функции 150
6.3.3. Некоторые иррациональные функции 153
6.3.4. Тригонометрические функции 154
6.3.4. Гиперболические функции 156
6.3.6. Разные функции 158
Способы вычисления определенных интегралов
Несобственные нтеграл 160
7.1.1. Способы точного вычисления нтегралов Непосредственное применение формулы Ньютона-
Лейбница 160 7.1.2 Замена переменной в определенном интеграле 162 7.1.3. Разные задачи 163 § 7.2 Приближенные методы 167
§ 7.3. Несобственные интегралы 170
7.3.2. Интеграл с бесконечными пределами 170 7.3.3. нтегралы от функций бесконечными разрывами 171
Разные задачи 172
Применения интеграл 175
§ 8.1.1. Некоторые задачи геометрии и статики 175
8.1.2. Плоишадь фигуры 175
8.1.3. Длина линии 180
8.1.4.Объм тела 183
8.1.4.Площадь поверхности и вращения 188
8.1.5 Моменты и центр масс 190
8.1.6.Теоремы Гульдина 194
§ 8.2. Некоторые задачи физики 195 Глава 9 Ряды 207
§ 9.1. Числовые ряды 207
9.1.1. Сходимость числового ряда 207
9.1.2. Ряды с положительными членами 208 9.1.3: Ряды с произвольными членами Абсолютная
сходимость 211
§9.2. Функциональные ряды 212
9.2.1. Сходимость функциональных рядов 212
9.2.2. Равномерная (правильная) сходимость 212
9.2.3. Интегрирование и дифференцирование рядов 214 § 9.3. Степенные ряды 216
9.3.1. Разложение функции в степенные ряды 216
9.3.2. Интервал сходимости 218 § 9.4. Некоторые применения рядов Тейлора 219
9.4.1. Вычисления приближенных значений функций 2)9
9.4.2. Решение уравнений 220
9.4.3. Интегрирование функций 221
9.4.4. Разные задачи 222
Глава 10. Функции нескольких переменных.
Дифференциальное исчисление 223
§ 10.1. Функции нескольких переменных. 223
§ 10.2. Простейшие свойства функции 225
10.2.1. Область определения 225
10.2.2. Предел. Непрерывность функции 227 10.2.3: Линии и поверхности уровня 228
§ 10.3. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных 230
10.3.1. Частные производные 230
10.3.2. Дифференциалы. Приближенные вычисления. 233
10.3.3. Применения, к вычислениям 234 § 10.4. Дифференцирование функций 235
10.4.1. Сложная функция . 235
10.4.2. Неявно и параметрически заданные функции 236 § 10.5. Повторное дифференцирование 238
10.5.1. Замена переменных 241
Глава 11. Применения дифференциального Исчисления
функций нескольких переменных 243 § 11.1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких
переменных 243
11.1.1. Формула Тейлора 243
11.1.2. Экстремумы 244
11.1.3. Наибольшие и. наименьшие значения' 246
11.1.4. Условные экстремумы 247 § 11.2. Плоские линии 250
11.2.1 Касательные и нормали. 250 11.2.2. Особые точки 250
11.2.3. Огибающие 250 § 11.3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в
пространтве. Поверхности 252
11.3.1. Векторная функция скалярного аргумента 252
11.3.2.Пространственные линии 254
11.3.3.Длина дуги пространственной линии 256
11.3.4. Поверхности 256 § 11.4. Скалярное поле Градиент Производная по
направлению '259
11.4.1. Градиент 259
11.4.2. Производная но направлению 260
Глава 12. Многомерные интегралы и кратное интегрирование 262
§ 12.1. Двойные и тройныеы интегралы 262
§ 12.2 Кратное интегрирование 263
12.2.1 Двойной интеграл. Прямоугольная область 263
12.2.2 . Двойной интеграл. Произвольная область 264
12.2.3. Тройной интеграл 266 §12.3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сфериче-
ских координатах 267
12.3.1.Двойной интеграл 267
12.3.2. Тройной интеграл 269
§ 12.4. Применение двойных и тройных интегралов 270
12.4.1. Объем тела 270
12.4.2. Площадь плоской фигуры 272
12.4.3. Объем тела 273
12.4.4. Площадь поверхности 274
12.4.5. Моменты и центр масс 275
12.4.6. Разные задачи 279 § 12.5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие
от параметра 282
12.5.1. Несобственные двойные и тройные интегралы 282 12.5.2. Интегралы зависящие от параметра. Правило
Лейбница 284
12.5.3. Разные задачи 286
Глава 13. Криволинейные интегралы и интегралы по
поверхности . 288
§13.1. Криволинейные интегралы по длине 288
13.1.1. Вычисление интегралов 288
13.1.2. Применения интегралов 289
§ 13 7. Криволинейны интегралы по координатам 291
13.2.1. Вычисление интегралов 291
13.2.2. Формула Грина • 293 13.2.3. Независимость интеграла от контура интегрирования , Отыскание первообразной 294 3.2.6. Гиперболические функции 62
3.2.7 Логарифмическое дифференцирование 63
3.2.8 Разные функции 63
3.2.9 Обратные функции 67
3.2.10. Функции, заданные неявно 68
3.2.11 Применения производной 69
§ 3.3 Дифференциал Дифференцируемость функции 75
3.3.1. Дифференциал 76
3.3.2 Дифференцируемость функций 79 § 3.4 Производная как скорость изменения (дальнейшие
примеры) 80
3.4.1. Относительная скорость 80
3.4.2. Функции, заданные параметрически 82
3.4.3. Скорость изменения полярного радиуса 85
3.4.4. Скорость изменения длины 86
3.4.5. Скорость движения 87 § 3.5. Повторное дифференцирование 87
3.5.1. Функции, заданные в явном виде 87
3.5.2. Функции, заданные в неявном виде 90
3.5.3. Функции, заданные параметрически 90
3.5.4. Ускорение движения 91
3.5.5. Формула Лейбница 92
3.5.6. Дифференциалы высших порядков 93
Глава 4. Исследование функций и их графиков 95
§ 4.1. Поведение функции 95
§ 4.2. Применение первой производной 96
4.2.1. Теоремы Ролля и Лагранжа 96
4.2.2. Поведение функций в интервале 99
4.2.3. Неравенства 101
4.2.4 Задачи на отыскание наибольших и наименьших
значений функций .. 101
§ 4.3. Применение второй производной 108
4.3.1. Экстремумы 108
4.3.2. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 108 § 4.4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 112
4.4.1. Теорема Коши и правило Лопиталя 112
4.4.2. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 115
4.4.3 Общее исследование функций и линий 116
4.4.4 Решение уравнений 119 § 4.5. Формула Тейлора и ее применение 121
4.5.1. Формула .Тейлора для многочленов 121
4.5.2. Формула Тейлора 122
4.5.3. Некоторые применения формулы Тейлора 122 § 4.6. Кривизна 123 Глава 5. Определенный интеграл 128
§ 5.1. Опроцеленный интеграл и его простейшие свойства 128
§ 5.1.1. Вычисление иитегралов суммированием 131
§ 5.2. Основные свойства определенного интеграла 133
5.2.1. Геометрическая интерпретация определенного интеграла • 133
5.2.2. Оценка интеграла 133
5.2.3. Среднее значение функции 134
5.2.4. Интеграл с переменным пределом 135
5.2.5. Формуле Ньютона-Лейбница 137
Глава 6 Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление 139
§ 6.1. Простейшеие приемы интегрирования 139
§ 6.2. Основные методы интегрирования 144
6.2.1. Интегрирование по частям 144
6.2.2 Замена переменной 146.
6.2.3. Разные задачи . 147
§ 6.3. Основные классы интегрируемых функций 150
6.3.1. Дробно-рациональные функции 150
6.3.1.Некоторые иррациональные функции 153
6.3.3. Тригонометрические функции 154
6.3.4. Гиперболические функции 156
6.3.6. Разные функции 158
Глава 7. Способы вычисления определенных интегралов
Несобственные интегралы 160
§ 7.1 Способы точного вычисления интегралов 160
7.1.1 .Непосредственное применение формулы Ньютона-ЛейПница 160
7.1.2. Замена переменной в определенном интеграле 162
7.1.3. Разные задачи 163
§ 7.2. Приближенные методы 167
§ 7.3. Несобственные интегралы 170
7.3.1. Интегралы с бесконечными пределами 170
7.3 2 Интегралы от функций с бесконечными разрывами 171
7.3.3. Разные задачи 172
Глава 8. Применения интеграла 175
§ 8.1. Некоторые задачи геометрии и статики 175
8.1.1. Площадь фигуры 175
8.1.2. Длина линии 180
8.1.3. Объем тела 183
8.1.4. Площадь поверхности вращения 188
8.1.5. Моменты и центр масс 190
8.1.6. Теоремы Гульдина - 194
§ 8.2. Некоторые задачи физики 195 13.2.4. Применения интегралов 296
13.2.5. Работа 297 § 13 3 Интегралы по поверхности 298
13.3.1. Интегралы по площади поверхности 298
13.3.2. Поверхностные интегралы по координатам 299
13.3.3. Формула Стокса 300
13.3.4. Формула Остроградского 301
Глава 14. Дифференциальные уравнения 302
§ 14.1. Уравнения первого порядка 302
14.1.1. Уравнения с разделяющимися переменными 302
14.1.2. Однородные уравнения 305
14.1.3. Линейные уравнения 306
14.1.4. Разные задачи (уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные) 308
14.1.5. Другие примеры уравнений первого порядка 313
14.1.6. Уравнения в полных дифференциалах 314
14.1.7. Интегрирующий множитель 314
14.1.8. Разные задачи 315 § 14.2. Уравнения первого порядка (продолжение) 316
14.2.1. Поле направлений. Изоклины 316
14.2.2. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 317
14.2.3. Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа 319
14.2.4. Ортогональные и изогональные траектории и эвольвенты 320
§ 14.3. Уравнения второго и высших порядков 321
14.3.1. Частные случаи уравнений второго порядка 321
14.3.2. Частные случаи уравнений более высоких порядков 324
14.3.3. Приближенные решения 324 § 14.4. Линейные уравнения 326
14.4.1. Уравнения с постоянными коэффициентами 328
14.4.2. Уравнения высших порядков 333 § 14.5. Системы дифференциальных уравнений 334 § 14.6. Вычислительные задачи 338
Глава (5. Тригонометрические ряды 340
§ 15.1. Тригонометрические многочлены 340
§ 15.2. Ряды Фурье 341
§ 15.3. Метод Крылова. Гармонический анализ 345
Глава 16. Элементы теории поля 347
§ 16.1. Векторное ноле, дивергенция и ротор 347
§ 16.2. Потенциал 350
§ 16.3, Потенциал силы притяжения 351
§ 16.4. Поток и циркуляция (плоский случай) 353 § 16.5. Поток и циркуляция (пространственный случай) 354
| 
