 Автор
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры общей математики и информатики БГУ А. А. Гусак
Рецензенты: доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики № 1 БНТУ Н. А. Микулик;
кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа БГПУ им. М. Танка Н. Т. Стелъмашук
Гусак, А. А.
Высшая математика : учебник для студентов вузов. В 2 т. Т. 2 / А. А. Гусак. - 6-е изд. - Минск : ТетраСистемс, 2007. -448 с.
Книга написана в соответствии с учебной программой курса высшей математики для вузов. Издается в двух томах. Во второй том включены следующие разделы: теория функций нескольких переменных, кратные и криволинейные интегралы, числовые и функциональные ряды, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая обработка результатов наблюдений. Изложение теоретического материала иллюстрировано многочисленными примерами.
Предназначается студентам, аспирантам и преподавателям вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (продолжение)
Глава 18. Функции нескольких переменных........................3
18.1. Некоторые предварительные понятия..................................................3
18.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.............5
18.3. Частные производные функции нескольких переменных..................9
18.4. Полный дифференциал функции нескольких переменных..............14
18.5. Дифференцирование сложных функций.................................20
18.6. Дифференцирование неявных функций -..................................23
18.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка... 25
18.8. Производная по направлению.............................................................29
18.9. Градиент скалярного поля...................................................................31
18.10. Формула Тейлора для функции нескольких переменных..............33
18.11. Экстремум функции нескольких переменных.................................35
18.12. Условный экстремум.........................................................................39
18.13. Семейства линий на плоскости.
Огибающая однопараметрического семейства линий.....................42
18.14. Эмпирические формулы....................................................................44
Глава 19. Кратные интегралы ...........................................48
19.1. Задачи, приводящие к двойным интегралам......................................48
19.2. Двойной интеграл................................................................................50
19.3. Свойства двойного интеграла.............................................................52
19.4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
декартовых координатах....................................................................53
19.5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл
в полярных координатах.....................................................................57
19.6. Приложения двойного интеграла.......................................................61
19.7. Тройной интеграл.................................................................................65
19.8. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл
в цилиндрических и сферических координатах...............................68
19.9. Приложения тройного интеграла........................................................70
19.10. Понятие о многомерных интегралах................................................71
Глава 20. Криволинейные интегралы.
Интегралы по поверхности................................................73
20.1. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла............73
20.2. Криволинейный интеграл первого рода.............................................75
20.3. Криволинейный интеграл второго рода.............................................77
20.4. Связь между криволинейными интегралами
первого и второго рода........................................................................80
20.5. Приложения криволинейных интегралов..........................................81 20.6. Формула Грина.....................................................................................82
20.7. Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности..........84
20.8. Понятия интегралов по поверхности..................................................88
20.9. Вычисление интегралов по поверхности...........................................91
20.10. Приложения интегралов по поверхности.........................................94
20.11. Формула Стокса.................................................................................96
20.12. Формула Остроградского..................................................................99
20.13. Поток, расходимость, циркуляция, вихрь.
Векторная формулировка теорем Остроградского и Стокса........102
20.14. Оператор «набла». Потенциальное и солеиоидальиое поле.........105
20.15. Признак полного дифференциала...................................................110
Глава 21. Числовые ряды .................................................114
21.1. Сходимость и расходимость числовых рядов.................................115
21.2. Необходимый признак сходимости ряда.........................................118
21.3. Признаки сходимости рядов с положительными членами.............119
21.4. Признак Д'Аламбера. Признак Коши...............................................122
21.5. Интегральный признак сходимости.................................................125
21.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница...............................127
21.7. Абсолютная сходимость рядов.........................................................130
21.8. Действия над рядами.........................................................................131
Глава 22. Функциональные ряды .....................................135
22.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов........135
22.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов............................................................138
22.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.........................................143
22.4. Степенные ряды. Теорема Абеля.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда............................146
22.5. Непрерывность суммы степенного ряда.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.............149
22.6. Разложение в степенные ряды некоторых функций.......................151
22.7. Ряд Тейлора.........................................................................................153
22.8. Приложения рядов.............................................................................158
22.9. Числовые ряды с комплексными членами.......................................160
22.10. Степенные ряды в комплексной области. Формулы Эйлера........162
Глава 23. Ряды Фурье.......................................................164
23.1. Тригонометрический ряд Фурье.......................................................164
23.2. Сходимость ряда Фурье
для кусочно-дифференцируемой функции......................................168
23.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.................................169
23.4. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [-/, /]......................J71
23.5. Ряд Фурье по произвольной ортогональной системе функций......173
23.6. Комплексная форма ряда Фурье.......................................................175
Раздел III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава 24. Дифференциальные уравнения
первого порядка................................................177
24.1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях..................177
24.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.................................180
24.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка......182
24.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка...........184
24.5. Уравнения в полных дифференциалах.............................................186
24.6. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений........................................................188
Глава 25. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Системы дифференциальных уравнений............190
25.1. Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений
л-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка........190
25.2. Линейное однородное уравнение п-го порядка...............................193
25.3. Линейные однородные уравнения л-го порядка
с постоянными коэффициентами......................................................201
25.4. Линейное неоднородное уравнение л-го порядка...........................205
25.5. Линейное неоднородное уравнение л-го порядка
с постоянными коэффициентами......................................................206
25.6. Метод вариации произвольных постоянных...................................208
25.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами......................................................211
25.8. Уравнение колебаний........................................................................213
25.9. Системы дифференциальных уравнений.........................................220
Глава 26. Дифференциальные уравнения с частными
производнымм первого и второго порядка ........224
26.1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях
с частными производными................................................................224
26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с частными производными первого порядка...................................225
26.3. Классификация линейных дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка...................................229
26.4. Преобразование линейного уравнения с частными производными при переходе к новым переменным........................231
26.5. Приведение уравнения гиперболического типа
к каноническому виду........................................................................233
26.6. Приведение уравнения параболического типа
к каноническому виду........................................................................238
26.7. Приведение уравнения эллиптического типа
к каноническому виду........................................................................241
26.8. Некоторые свойства решений линейных однородных уравнений
с частными производными второго порядка...................................243
Глава 27. Простейшие дифференциальные уравнения
математической физики....................................245
27.1. Вывод уравнения колебаний струны.............!..................................245
27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши..................................249
27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны.
Метод Д'Аламбера............................................................................250
27.4. Физическая интерпретация решений волнового уравнения...........253
27.5. Задача о колебаниях ограниченной струны. Метод Фурье............255
27.6. Понятие о стоячих волнах........................................................:........261
27.7. Уравнение теплопроводности в пространстве.................................263
27.8. Начальное и краевые условия
для уравнения теплопроводности в пространстве...........................268
27.9. Теплопроводность в стержне, концы которого теплоизолированы .... 270
27.10. Уравнение диффузии.......................................................................276
27.11. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле.............................................277
27.12. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.............................280
Раздел IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Глава 28. Случайные события и вероятности...................285
28.1. Классификация событий....................................................................285
28.2. Вероятность события, ее основные свойства.
Классическое определение вероятности.
Геометрическая вероятность............................................................287
28.3. Действия над событиями. Соотношения между событиями..........291
28.4. Закон сложения вероятностей...........................................................294
28.5. Частота события и ее свойства.
Статистическое определение вероятности......................................296
28.6. Аксиоматическое определение вероятности...................................299
28.7. Следствия из аксиом вероятности....................................................302
28.8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей............304
28.9. Независимость событий....................................................................306
28.10. Вероятность появления хотя бы одного события..........................309
28.11. Формула полной вероятности.........................................................310
28.12. Формулы Байеса................................................................................3 1,2
Глава 29. Случайные величины
и функции распределения.................................313
29.1. Случайная величина..........................................................................313
29.2. Функция распределения и ее свойства.............................................314
29.3. Плотность распределения..................................................................319
29.4. Совместное распределение двух случайных величин....................322
29.5. Совместные распределения нескольких случайных величин........327
29.6. Независимость случайных величин..................................................329
29.7. Функции случайных величин............................................................331
Глава 30. Числовые характеристики
случайных величин .........................................333
30.1. Математическое ожидание случайной величины...........................333
30.2. Дисперсия случайной величины.......................................................341
30.3. Среднее квадратическое отклонение.
Числовые характеристики среднего арифметического
одинаково распределенных случайных величин.............................345
30.4. Ковариация.........................................................................................347
30.5. Коэффициент корреляции.................................................................350
30.6. Моменты случайных величин...........................................................352
Глава 31. Некоторые законы распределения
случайных величин...........................................356
31.1. Формула Бернулли.............................................................................356
31.2. Биномиальное распределение...........................................................358
31.3. Геометрическое распределение........................................................361
31.4. Распределение Пуассона.............................................:.....................363
31.5. Равномерное распределение..............................................................366
31.6. Показательное распределение...........................................................370
31.7. Гамма - распределение......................................................................372
31.8. Нормальное распределение...............................................................373
31.9. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм........................................378
31.10. Нормальное распределение двумерной случайной величины.....380
31.-11. Распределение «хи - квадрат»........................................................383
Глава 32. Закон больших чисел.
Предельные теоремы.........................................385
32.1. Неравенства Чебышева...................................................■...................385
32.2. Теорема Чебышева.............................................................................387
32.3. Теорема Бернулли..............................................................................391
32.4. Понятие о центральной предельной теореме. Теоремы Лапласа......392
Глава 33. Элементы математической статистики .............395
33.1. Выборочный метод. Основные понятия..........................................395
33.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма...............397
33.3. Эмпирическая функция распределения...........................................400
33.4. Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности, состоятельности и эффективности оценки.....................................402
33.5. Генеральная средняя. Выборочная средняя.
Оценка генеральной средней............................................................403
33.6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия.
Эмпирическая дисперсия. Эмпирический стандарт........................406
33.7. Доверительная вероятность. Доверительный интервал..................409
Глава 34. Математическая обработка
результатов наблюдений...................................412
34.1. Измерения и их погрешности.
Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений..............................................412
34.2. Оценка точного значения измеряемой величины............................414
34.3. Оценки точности измерений.............................................................417
34.4. Метод наименьших квадратов..........................................................419
34.5. Определение параметров эмпирических формул............................424
Литература ко второму тому.............................................434 Предметно-нменной указатель.............................................435
| 
